Para que estudiar conjuntos?
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tomado de la pagina
http://campus.cva.itesm.mx/nazira/Tc1003/PDF/Apuntes/0300Tc1003_Conjuntos.pdf
"3.6 Historia8
El álgebra de la teoría de conjuntos se desarrolló durante los siglos
diecinueve y veinte. En Inglaterra, George Peacock (1806 – 1858) fue un pionero
en reformas matemáticas y uno de los primeros en revolucionar el concepto del
álgebra y la aritmética. Sus ideas fueron desarrolladas más tarde por Duncan
Gregory ( 1813 – 1844 ) , William Rowan Hamilton ( 1805 – 1865 ) y Augustus de
Morgan ( 1806 – 1871 ), quien intentó eliminar la ambigüedad del álgebra
elemental para ponerla en forma de postulados estrictos. Sin embargo fue en 1845,
año en que Boole logró formalizar el álgebra de conjuntos y la lógica y se extendió
el trabajo de Peacock y sus contemporáneos.
El enfoque intuitivo de la teoría de conjuntos se realizó en tiempos del
matemático ruso Geroge Cantor ( 1845 – 1918 ), quien definió un conjunto, en
1895, en forma intuitiva. En la década de 1870, cuando Cantor estaba estudiando
las series trigonométricas y las series de números reales, necesitaba una forma para
comparar el tamaño de los conjuntos infinitos de números. Su estudio de lo
infinito como una realidad, que está en el mismo nivel de lo infinito, fue en su
momento revolucionario. Parte de su trabajo fue rechazado ya que resultó ser más
abstracto de lo acostumbrado por muchos matemáticos de su tiempo. Pero con el
tiempo, ganó aceptación para que en 1890 la teoría de conjuntos, tanto finita como
infinita, fuera considerada una rama de las matemáticas como derecho propio.
Al terminar el siglo XIX la teoría era aceptada. Sin embargo, en 1901 Russell
mostró que esta teoría de conjuntos, propuesta originalmente, tenía una
inconsistencia interna: la falta de restricción para definir los conjuntos (paradoja
de Russell). Los matemáticos británicos Lord Bertrand Arthur William Russell (
1872 – 1970) y Alfred North Whitehead ( 1861 – 1947 ) desarrollaron una sjerarquía en la teoría de conjunto conocida como la teoría de tipos. Con esta teoría, se
definían los conjuntos.
El descubrimiento de la paradoja de Russell aun cuando se pudo remediar,
tuvo un profundo impacto en la comunidad matemática, ya que muchos
comenzaron a preguntarse si había otras contradicciones ocultas. En 1931, el
matemático austriaco Kart Göel ( 1906 – 1978 ) formuló la idea de que en una
condición de consistencia dada, cualquier sistema axiomático formal
suficientemente fuerte debe de contener una proposición tal que ni ésta ni su
negación sea demostrable y tal que cualquier demostración de consistencia del
sistema debe usar ideas de métodos que están más allá de los propios del sistema
en sí. Esto quiere decir que no podemos establecer que no existen contradicciones
en matemáticas.
La importancia del papel de la teoría de conjuntos en el desarrollo de las
matemáticas del siglo XX la define el matemático alemán David Hilbert ( 1862 –
1943 ) al decir: “Nadie podrá expulsarnos del paraíso que Cantor ha creado para nosotros "
